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复杂 = f (简单1, 简单2, ... , 简单n)
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高阶导数题四大解法一文搞定

19 5 月, 2024 1832点热度 2人点赞 0条评论

0. 基础 n 阶四公式形式

二阶以及二阶以上的导数,统称高阶导数

高阶导数四大解法:

  • 变形成 n 阶四公式形式

  • 莱布尼茨公式(常需利用 n 阶四公式)

  • 泰勒公式化得多项式

  • 观察规律法

首先,要想解高阶导数又快又准,n 阶四公式绝对是基础中的基础,所以,请务必记住 n 阶四公式:

  • \({(x^m)}^{(n)}=m(m−1)(m−2)\cdots(m−n+1)x^{m−n}\ (m \ge n)\)

  • \({(a^x)}^{(n)}={(\ln_{}{a})}^{n}a^{x}\)

  • \({(ln⁡x)}^{(n)}=\frac{{(−1)}^{n−1}(n−1)!}{x^n}\) (由 \({(ln⁡_{}{x})}^{\prime}=\frac{1}{x}\) ,有 \({(\frac{1}{x})}^{(n)}=\frac{{(−1)}^{n}n!}{x^{n+1}}\) )

  • \({(\sin⁡ x)}^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi}{2})\) ( \({(\cos ⁡x)}^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi}{2})\) )

所谓 n 阶四公式,即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数最简单形式的 n 阶导数的值。

但是通常,题目不会直接让我们求这四个函数,一般我们要求的,都是 n 阶四公式形式的函数,比如说,求的是 \({(ax+b)}^{(n)}\) ,\({[\ln_{}{⁡(ax+b)}]}^{(n)}\),\({[\sin (kx+b)]}^{(n)}\)。

我们只要记住了形式简单的 n 阶四公式,就可以很快地推出 n 阶四公式形式的函数。

所以,现在,请立刻开始把 n 阶四公式记住,不要说留到后面再背,告诉自己,我现在就要记住 n 阶四公式,并且我不会忘了。

只有我们有坚定说要去记住,才真的更容易记牢,这是我自己的感受。

好,现在我们记住了 n 阶四公式。因为是最简单的形式,所以记起来也还行。

ok,前面说了这么多,其实就讲了一样东西,叫 n 阶四公式。为了检验你是否掌握,请你拿出纸笔,求:

\(𝑓(𝑥)=\ln_{}{⁡(1−x)}\) 的 n 阶导数。(答案在文末,题号为 ① )

上面的问题你答对了吗?答对了就点个赞吧!

好,现在,停下来,休息一下,放松地思考一下,下面两个问题:

\({[{(ax+b)}^𝑚]}^{(n)}\) ,\({[\ln_{}{⁡(ax+b)}]}^{(n)}\) , \({[\sin (kx+b)]}^{(n)}\)

  • 上面的三个 n 阶导数求出来是什么?

  • 它们比对应的原来的 n 阶四公式多出了什么?或者说有什么联系和区别。

问题难度适中,相信你能思考出来。

如果你已经掌握了 n 阶四公式,我们就进入本文的正题吧——高阶导数题的四大解法。

(注:本文的例题和习题都是经过挑选,觉得很经典和不错的题目,绝对值得一做)

1. 变形成 n 阶四公式形式

例题:已知函数 \(f(x)=ln_{}{\frac{⁡1−3𝑥}{1+2𝑥}}\) ,则 \(f^{(n)}(0)=()\) .

解:如果按原来的 𝑓(𝑥) 的形式一次次求导,感觉会有点复杂,尝试将其化成 n 阶四公式形式,即

\(f(x)=\ln{}{⁡\frac{1−3x}{1+2x}}=\ln_{}{⁡(1−3x)}−\ln_{}{⁡(1+2x)}\)

这样一来,对 \(f(x)\) 求 n 阶导就相当于分别对 \(\ln_{}{⁡(1−3x)}\) 和 \(\ln_{}{⁡(1+2x)}\) 求 n 阶导然后相减。

根据 n 阶四公式中对数函数的 n 阶导数的值,我们可以快速推导出

\({[\ln_{}{⁡(1+𝑎𝑥)}]}^{(n)}=\frac{{(−1)}^{n−1}a^n(n−1)!}{{(1+ax)}^n}\) ,所以

\(f^{(n)}(x)={(−1)}^{n−1}(n−1)!\left [\frac{{(−3)}^n}{{(1−3x)}^n}−\frac{2^n}{{(1+2x)}^n}\right ]\) ,则有

\(f^{(n)}(0)={(−1)}^{n−1}(n−1)![{(−3)}^n−2^n]\)

小结:问题解答完成,由此可见,对于一个复杂的函数,可以化成 多个n 阶四公式形式的函数,再利用 n 阶四公式,快速推导其出 n 阶导数的值,进而求得复杂函数的 n 阶导数的值。

拿出纸笔,快速做一下下面这道题练练手吧。

习题:已知函数 \(𝑓(𝑥)=\frac{1}{x^2−1}\) ,求 \(f^{(5)}(x)\) .(答案在文末,题号为②)

耐心一点,请确保能解开上一道习题再继续阅读。

开始第二种方法之前,请问自己,是否了解过莱布尼茨公式,公式是怎么样的,是用来干什么的。如果答案是否定的,请停止阅读本文,通过书本或上网对莱布尼茨公式进行初步了解,能够回答这两个问题后,再继续阅读。

(学习不总是“线性”的。通过一个问题,可以牵带出相关的问题。然后带着对相关问题的好奇,去了解它们,逐步深入,这是我自己很喜欢的一种学习的方式,好奇和求知欲也应该并且可以成为我们学习的动力。)

2. 莱布尼茨公式

例题:已知函数 \(f(x)=x^2\ln{}{(1-x)}\) ,当 \(n \ge 3\) 时, \(f^{(n)}(0)=()\) .

解:看着像两个函数相乘的形式,并且 \(x^2\) 在导数大于2后为0,所以可以考虑一下使用莱布尼茨公式。则有,

\(f^{(𝑛)}(x)=C_{n}^{0}x^2{[\ln_{}{(1−x)}]}^{(n)}+C_{n}^{1}(x^2)^{\prime}{[\ln_{}{(1−x)}]}^{(n-1)}+C_{n}^{2}(x^2)^{\prime\prime}{[\ln_{}{(1−x)}]}^{(n-2)}\)

因为 \({[\ln_{}{(1−x)}]}^{(n)}=\frac{(n-1)!(-1)}{{(1-x)}^n}\) ,

\({[\ln_{}{(1−x)}]}^{(n-1)}=\frac{(n−2)!(−1)}{{(1−x)}^{𝑛−1}}\) ,

\({[\ln_{}{(1−x)}]}^{(n-2)}=\frac{(n−3)!(−1)}{{(1−x)}^{𝑛−2}}\) ,

\({(x^2)}^{\prime}=2x\) , \({(x^2)}^{\prime\prime}=2\) .

所以 \(f^{(n)}(x)=x^2\frac{(n-1)!(-1)}{{(1-x)}^n}+2xn\frac{(n−2)!(−1)}{{(1−x)}^{n−1}}+2\frac{n(n−1)}{2}\frac{(n−3)!(−1)}{{(1−x)}^{n−2}}\)

故 \(f^{(n)}(0)=−\frac{n!}{n−2}\) .

小结:例题解答完成,通过观察我们可以发现,莱布尼茨公式解 n 阶导数适用于:

  • 两个函数相乘

  • 其中一个函数在求高阶导数后会变为 0

这样的函数。

当遇到这样的函数时,使用莱布尼茨公式。对于求其中需要求 n 阶导数的(本题中是 \(\ln_{}{⁡(1−x)}\) ),需要变形成 n 阶四公式形式(即方法一),然后利用 n 阶四公式推导进行解决。

此外,当要求的是 \(f^{(𝑛)}(0)\) 时,有的项其实并不需要计算。比如在本题中, \(f^{(𝑛)}(𝑥)\) 的前面两项是不需要计算的。

例题讲完了,你现在能解决下面这一道习题吗?

习题:函数 \(f(x)=x^22^𝑥\) 在 \(x=0\) 处的 𝑛 阶导数 \(f^{(n)}(0)=()\) .(答案在文末,题号为③)

能够看到这里,高阶导数的类型题基本也能解决一大半了,在坚持一下吧,后面的内容不会很难。

下面的方法会涉及泰勒公式和麦克劳林公式,统称为泰勒公式化多项式法。这里还是默认大家已经掌握了泰勒公式。

3. 泰勒公式化多项式

例题:已知函数 \(f(x)=x^{100}e^{x^2}\) ,则 \(f^{(200)}(0)=()\) .

解:使用前面两种方法似乎解决不了本题,尝试使用泰勒公式。

由麦克劳林公式,得

\(f(x)=x^{100}(\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{2k}}{k!}+o(x^{2n}))=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{2𝑘}+100}{k!}+o(x^{2n+100})\)

取 \(n=50\) ,根据多项式求导的性质,由

展开式中 \(x^{200}\) 项的系数是 \(\frac{1}{50!}\) \(\Rightarrow\) \(f^{200}(0)=200!\frac{1}{50!}\)

小结:根据我个人的经验,利用莱布尼茨公式法和泰勒公式化多项式是考察比较多的,而且常常这两种方法是同一道题的两种解法。

之所以把变形成 n 阶四公式法放在第一个,是因为这种方法最基础的方法,并且在一些时候,这种方法也是后面这两种方法的基础,起到辅助解题的作用。

这次,请你尝试用泰勒公式化多项式法,解决一下,上面莱布尼茨公式法的习题吧。

习题:函数 \(f(x)=x^22^x\) 在 \(x=0\) 处的 𝑛 阶导数 \(f^{(n)}(0)=()\) .(答案在文末,题号为④)

当上面三种方法,三种通用套路,看起来都没办法解决的时候,我们只能祭出观察规律法。

数学难题常常就出现在需要观察的题目上。有时候,一个函数,你观察到它潜在的某种特点、或者可以进行某种不常见的变形、或者有某种几何性质,便能够很快速地解决掉题目,但如果观察不出来,就真的绞经脑汁也解不出来。观察题和套路题一定程度上是对立的(当然对于身经百战的解题者,观察题也是套路题)。观察题是让人又爱又恨的,它常常是让人困惑的,但也常常是美妙的。

废话有点多了,下面进入第四种方法——观察规律法。

4. 观察规律法

例题:已知函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上连续,且 \(f(x)={(x+1)}^2+2\int_{0}^{x}f(t)dt\) ,当 \(n\ge2\) 时, \(f^{(n)}(0)=()\).

解:尝试按上面三种套路思考,发现似乎都行不通,于是尝试使用观察规律法。

观察、思考,不难想到 \({(x+1)}^2\) 在导数等于 3 后会变成 0。于是尝试对 \(f(x)\) 求前 3 次导数。

\(f^{\prime}(x)=2(x+1)+2f(x)\) ,

\(f^{\prime\prime}(x)=2+2f^{\prime}(x)\) ,

\(f^{\prime\prime\prime}(x)=2f^{\prime\prime}(x)\) ,则

\(f^{(n)}(x)=2f^{(n-1)}(x)=2^2f^{(n-2)}(x)=\cdots=2^{n-2}f^{\prime\prime}(x)\ (n\ge2)\)

而 \(f(0)=1\) , \(f^{\prime}(0)=2+2=4\) , \(f^{\prime\prime}(0)=10\)

因此 \(f^{(n)}(0)=5*2^{n-1}\)

小结:观察规律法,通常是尝试求前几阶导数,然后进行观察,总结导数可能存在的规律。而且有时后,在求解前一二阶导数后,便可以使用前面的三种方法解决了。

习题:已知函数 \(f(x)=\arctan x\) ,求 \(f^{(n)}(0)\) .

5. 下一步做什么

找书本或者网上的高阶导数的题来做吧。认真做个15道高阶导数的题感觉就没什么太大问题了。

最后的提醒,解决高阶导数的问题,几乎就这四种方法不会错。不过有的时候,稍微复杂的题目并不一定是一定用单一的方法解决的,对这四种方法融会贯通,学会综合运用,方能立于不败之地。

答案

① \(\frac{(n-1)!(-1)}{{(1-x)}^n}\)

② \(60\left [ \frac{1}{{(x+1)}^6} - \frac{1}{{(x-1)}^6} \right ]\)

③ \(n(n-1){(\ln_{}{2})}^{n-2}\ (n=1,2,3,\cdots)\)

④ \(n(n-1){(\ln_{}{2})}^{n-2}\ (n=1,2,3,\cdots)\) 。注意化 \(f(x)=x^22^x=x^2e^{x\ln_{}{2}}\) ,然后再泰勒展开。

⑤ \(\begin{cases} 0, & n=2k \\ {(-1)}^k(2k)!, & n=2k+1\end{cases}\)

标签: 导数
最后更新:22 6 月, 2024

陈银波

邮箱:agwave@foxmail.com 知乎:https://www.zhihu.com/people/agwave github:https://github.com/agwave leetcode:https://leetcode.cn/u/agwave

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  • 0. 基础 n 阶四公式形式
  • 1. 变形成 n 阶四公式形式
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  • 3. 泰勒公式化多项式
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